Ban đầu thì việc giải bài toán einstein này cũng đơn giản thôi: tìm một bộ hình có thể ghép lại phủ kín mặt phẳng mà không tạo ra chu kỳ lặp đi lặp lại. Nhưng càng về sau, các nhà khoa học càng cố gắng tối giản đáp án theo thời gian.
Tháng 11 vừa rồi, David Smith đã gặt hái thành công sau cả thập kỷ cày cuốc Tự nhận mình là người cuồng hình học, chú thợ in người Anh này tự tin khẳng định đã tìm ra lời giải cho bài toán ghép hình khó nhằn trong Toán học: ông tìm ra được một "einstein" và còn đứng tên xuất bản nghiên cứu luôn để chứng minh nha!
Thuật ngữ "einstein" ở đây chỉ một mảnh ghép đơn phi chu kỳ - tức là một hình có thể ghép khớp với nhau trên mặt phẳng, đồng thời tạo thành một mẫu hình vô tận không lặp lại. Danh từ "einstein" được ghép từ hai từ tiếng Đức: "ein" nghĩa là "một" và "stein" nghĩa là "đá" - hiểu nôm na là "một phiến đá" thôi
Những mẫu hình bạn hay thấy - kiểu sàn gạch hay giấy dán tường - có thể tạo thành hình ghép kéo dài vô tận và lặp lại theo chu kỳ. Nhưng einstein thì không theo quy luật đó! Từ lâu lắm rồi, các nhà toán học đã đi tìm một hình duy nhất có thể phủ kín mặt phẳng theo cách phi chu kỳ như vậy. Vấn đề hóc búa này được đặt tên là "bài toán einstein", và vinh dự được "cùng họ" với thiên tài vật lý học Albert Einstein luôn nè
"Tôi luôn thích thú mày mò và thử nghiệm với hình dáng", ông Smith - thợ in về hưu giờ đã 64 tuổi - tâm sự trên trang WordPress cá nhân. Ông thích toán từ hồi còn đi học nhưng không thực sự xuất sắc lắm trong môn học cổ điển này. Dù vậy, từ lâu ông Smith đã đam mê tìm lời giải cho bài toán einstein rồi
Kết luận trong báo cáo khoa học mới được đăng tải bởi chính ông Smith và ba chuyên gia toán học và điện toán khác khẳng định bài toán đã có đáp án rồi nha! Các nhà nghiên cứu gọi einstein do ông David Smith tìm ra là "cái mũ", vì nó trông na ná một chiếc mũ phớt vậy. Lúc công bố được nhắc tới trên tạp chí The New York Times, báo cáo khoa học của nhóm chưa được hội đồng chuyên môn thẩm định đâu.
"Đây có vẻ là một khám phá đáng ghi nhận!", Joshua Socolar - nhà vật lý học tại Đại học Duke - trả lời trong email, bộc lộ cảm xúc phấn khích khi đọc phiên bản chưa hoàn thiện của báo cáo. "Khía cạnh đáng chú ý nhất với tôi là [những hình ghép] không giống với bất cứ cấu trúc quen thuộc nào mà ta biết"
"Kết quả bài toán gợi ra những câu hỏi thú vị liên quan tới vật lý", ông Socolar nói thêm. Vị chuyên gia nhận định một người có thể bắt gặp cấu trúc này trong tự nhiên, hoặc thiết kế một cấu trúc dạng này để phục vụ những mục đích nhất định.
Ban đầu, nỗ lực giải bài toán einstein chỉ đơn giản là tìm cách trả lời câu hỏi: liệu có một tập hợp hình nào có thể được ghép lại để phủ lên một mặt phẳng mà không tạo ra chu kỳ?
Năm 1961, nhà toán học Hao Wang công bố báo cáo khẳng định một tập hợp như vậy là bất khả thi. Nhưng không lâu sau, học trò của ông Wang - ông Robert Berger - đã sớm phủ nhận ước đoán này của thầy mình luôn Giáo sư Berger khám phá ra một tập hợp hình học phi chu kỳ ghép lại từ 20.426 hình đơn lẻ, và không lâu sau đó ông tiếp tục phát hiện ra một tập hợp khác ghép từ 104 hình.
Và cách giải bài toán einstein thay đổi: vẫn đi tìm cách phủ mặt phẳng, nhưng giờ các nhà toán học tìm cách tạo ra einstein với ít số hình nhỏ nhất có thể. Thập niên 70, Ngài Roger Penrose - nhà vật lý toán học tại Đại học Oxford, cha đẻ tam giác Penrose trứ danh, người đoạt giải Nobel vật lý 2020 nhờ đóng góp trong nghiên cứu lỗ đen - giảm số hình ghép thành einstein xuống còn 2
Sau Penrose, đã có những chuyên gia khác tìm được cặp hình của riêng mình. "Tôi cũng có một cặp hình như vậy", Chaim Goodman-Strauss - nhà toán học tại Bảo tàng Toán học Quốc gia ở New York, và cũng là đồng tác giả báo cáo khoa học mới đăng tải - nhận định.
Ông nói thêm, bên cạnh mẫu bàn cờ vua quen thuộc, những hình vuông với hai màu đen trắng cũng có thể được ghép lại và tạo ra những mẫu hình phi chu kỳ. "Việc tạo nên những mẫu hình kỳ lạ và thú vị có thể coi là bình thường", giáo sư Goodman-Strauss nói. Đó là lý do khiến hai mảnh ghép hình Penrose - vốn CHỈ có thể tạo ra những mẫu hình phi chu kỳ khi ghép - lại phi thường đến vậy
Với ước mơ tối giản vấn đề toán học phức tạp, từ lâu các nhà nghiên cứu đã kiếm tìm một mảnh ghép duy nhất có khả năng tạo thành một mẫu hình bất tận trên mặt phẳng, đồng thời không lặp lại theo chu kỳ nhất định. Ngài Roger Penrose tạm gác lại hành trình tìm mảnh ghép độc nhất đã vài năm, nhưng đam mê khám phá vẫn hiện rõ nơi ông.
"Tôi đã đưa con số mảnh ghép xuống tới hai, và giờ ta đã đưa nó xuống còn một mảnh duy nhất!", Ngài Penrose hồ hởi trước phát hiện cái mũ của ông Smith. "Tôi không có lý do gì để không đặt niềm tin vào nó", nhà toán học người Anh nói thêm
Báo cáo khoa học của ông Smith chứa hai cách chứng minh, đều được thực hiện bởi đồng tác giả - lập trình viên phần mềm Joseph Myers. Một bằng chứng dựa trên những lập luận truyền thống kết hợp một đoạn code do lập trình viên người Anh thảo nên; bằng chứng còn lại do giáo sư Myers soạn thảo mà không cần tới sự trợ giúp của máy tính luôn
Ngài Roger nói số bằng chứng được mô tả trong báo cáo "rất phức tạp", khiến ông "tò mò vô cùng". Ngài đồng thời nhận định, hình do ông Smith luận ra đơn giản một cách đáng ngạc nhiên.
Sự đơn giản tới một cách thân thành ấy. Ông Smith cố gắng giải bài toán einstein bằng tay: ban đầu, ông "táy máy" với phần mềm giải đố PolyForm do lập trình viên Jaap Scherphuis viết nên. Khi hình hài trên màn hình có tiềm năng trở thành lời giải cho bài toán einstein, ông Smith sẽ dùng máy cắt tạo ra những miếng ghép thực tế, cố gắng ghép chúng với nhau như một câu đố xếp hình kỳ lạ
"Cảm giác [cầm miếng ghép hình trên tay] luôn hấp dẫn", ông Smith mô tả việc ghép hình, xoay hình theo bất cứ cách nào mình muốn. "Việc này cũng khiến tôi chìm trong dòng suy nghĩ. Và nó giúp tôi hiểu hơn về cách một hình dáng lát sao cho hợp lý lên một mặt phẳng".
Hồi tháng 11, khi Smith tìm ra một hình hài có thể phủ kín một mặt phẳng mà không tạo ra mẫu hình lặp lại, ông lập tức email cho Craig Kaplan - một nhà khoa học máy tính tại Đại học Waterloo.
"Liệu hình này có phải câu trả lời cho 'bài toán einstein'", ông Smith đặt câu hỏi trong email. Tiến sĩ Kaplan sử dụng thuật toán của mình - được xây dựng dựa trên những nghiên cứu tương tự - để tạo ra một mặt phẳng lớn ghép từ những cái mũ. "Có vẻ mặt phẳng [ghép từ những cái mũ] do phần mềm tạo ra không có giới hạn", ông Kaplan cho hay
Dựa trên những dữ liệu thô này, ông Smith và Tiến sĩ Kaplan dùng… mắt thường để tiếp tục nghiên cứu trật tự của cấu trúc ghép từ những chiếc mũ. Áp dụng chứng minh phi chu kỳ truyền thống - một chứng minh toán học "được lôi ra khỏi ngăn kéo mỗi khi bạn có một bộ mẫu hình ghép phi chu kỳ" - hai nhà nghiên cứu phát hiện ra hình ghép từ cái mũ thỏa mãn những gì chứng minh nêu ra.
Theo lời Tiến sĩ Kaplan, đầu tiên phải xác định được một mảnh ghép meta - một hình đơn giản có thể đại diện cho một nhóm bao gồm một, hai hoặc bốn chiếc mũ. Khi ráp lại, các mảnh ghép meta này sẽ tạo thành một hình lớn hơn nhưng vẫn có những đặc tính tương tự. Cứ ghép những mảnh meta này từ nhỏ tới lớn, từ lớn tới siêu lớn và siêu siêu lớn, cho tới vô tận, và rồi ta sẽ có "một 'sàn' toán học lớn phủ đầy những bản thể của cái mũ", Tiến sĩ Kaplan cho hay.
Nguồn: soha.vn