Nói đến toán học là nói đến cả một mê cung các khái niệm khó nhằn, nhưng có một thứ vừa mạnh mẽ vừa bị underrated nặng nề - đó chính là các tổng vô hạn (infinite sums) Những thứ này có khả năng siêu xịn là nối kết các khái niệm trên khắp "vũ trụ" toán học với nhau đó nha!
Khi thiên tài John von Neumann flex não
Nhắc đến sự xuất sắc tuyệt đối trong làng toán học, không ai vượt qua được John von Neumann (1903-57) cả. Ông là người thiết kế nên máy tính hiện đại, sáng lập ra lý thuyết trò chơi (game theory), và đặc biệt nổi tiếng với khả năng tính nhẩm như có siêu năng lực vậy. Hồi 6 tuổi, bé Neumann đã nhân chia được tám chữ số trong đầu - việc mà mình làm bằng tay còn mất cả tiếng đồng hồ
Có một lần, ai đó thử thách ông bằng câu đố này: Hai người đạp xe xuất phát từ hai đầu của con đường dài 20 dặm, mỗi người đạp với tốc độ 10 dặm/giờ về phía nhau. Lúc bắt đầu, một con ruồi đậu trên bánh xe cũng bay đi với tốc độ 15 dặm/giờ về phía chiếc xe kia. Đến nơi thì nó quay lại bay về xe đầu tiên, rồi lại quay lại... cứ thế bay đi bay lại cho đến khi hai xe va chạm và con ruồi bị bẹp Hỏi tổng quãng đường con ruồi bay được bao nhiêu?
Nghe có vẻ hack não phết đúng không? Hành trình của con ruồi gồm vô vàn đoạn nhỏ, mỗi đoạn ngắn hơn đoạn trước. Cộng tất cả lại nghe đã choáng rồi
Nhưng nếu nghĩ về người đạp xe thay vì con ruồi thì ez game! Trên đường 20 dặm, hai người tiến lại gần nhau với tốc độ tổng 20 dặm/giờ sẽ gặp nhau sau 1 giờ. Trong 1 giờ đó, con ruồi bay 15 dặm/giờ thì đương nhiên bay được 15 dặm rồi!
Khi von Neumann nghe xong câu đố, ông trả lời liền: "15 dặm." Người hỏi thất vọng: "Ồ, anh biết mánh khóe rồi à." Von Neumann đáp: "Mánh gì cơ? Tôi chỉ cộng chuỗi vô hạn thôi mà"
Chuỗi vô hạn là gì mà xịn vậy?
Chuỗi vô hạn là tổng của vô vàn con số, biến số hoặc hàm số theo một quy tắc nhất định. Trong môn giải tích, nó như một nhân vật phụ khiêm tốn, thường đứng sang một bên trong khi đạo hàm và tích phân chiếm spotlight
Vậy tại sao phải học chúng? Chuỗi vô hạn siêu hữu ích để tìm nghiệm gần đúng cho các bài toán khó và minh họa những điểm tinh tế trong toán học. Nhưng thành thật mà nói, quy trình tìm chúng khá... nhàm chán Các ứng dụng thực tế như niên kim, thế chấp, hóa trị cũng có vẻ xa vời với đa số người.
Nhưng lý do chính đáng nhất để học chuỗi vô hạn là: chúng là những "cây cầu nối" thần thánh! Chúng bộc lộ mối liên hệ giữa các lĩnh vực toán học khác nhau, hé lộ những liên kết bất ngờ. Chỉ khi học đến phần chuỗi vô hạn, cấu trúc thực sự của toán học - toàn bộ toán học - mới bắt đầu hiện hình rõ ràng!
Bài toán mặc cả cái nón: Khi cả hai đọc cùng sách
Giả sử bạn muốn mua một cái nón từ người bán hàng rong. Anh ta chào 24 đô. Bạn trả: "12 đô thôi!" Anh ta: "Chia đôi phần chênh lệch đi, 18 đô."
Thông thường thì deal xong tại đây. Nhưng không, vì cả hai đều đọc cuốn "Nghệ thuật Mặc cả Vô hạn" (The Art of Infinite Haggling) Bạn đề nghị chia đôi tiếp giữa 12 và 18: "15 đô, xong!" Người bán lại: "Không, chia đôi giữa 15 và 18, 16.5 đô." Và cứ thế tiếp tục cho đến khi hội tụ về một mức giá. Giá cuối cùng là bao nhiêu?
Câu trả lời chính là tổng của một chuỗi vô hạn!
Các đề nghị tuân theo pattern:
• 24 (giá chào của người bán)
• 12 = 24 – 12 (đề nghị đầu của bạn)
• 18 = 24 – 12 + 6 (người bán chia đôi)
• 15 = 24 – 12 + 6 – 3 (bạn chia đôi)
• 16.5 = 24 – 12 + 6 – 3 + 1.5 (người bán chia tiếp)
• 15.75 = 24 – 12 + 6 – 3 + 1.5 – 0.75 (bạn chia tiếp)
Mỗi số bằng một nửa số trước nhưng trái dấu. Vậy giá P = 24 – 12 + 6 – 3 + 1.5 – 0.75 + …
Trick xịn đây: Nhân đôi P lên!
2P = 48 – 24 + 12 – 6 + 3 – 1.5 + …
Giờ cộng P + 2P, các số sẽ triệt tiêu nhau theo cặp, chỉ còn số 48:
2P + P = 48
3P = 48
P = 16 đô la!
Quay lại bài toán xe đạp
Bài toán con ruồi cũng tương tự! Mỗi chặng bay của con ruồi dài bằng 1/5 chặng trước đó. Von Neumann coi việc tính tổng "chuỗi hình học" này như trò trẻ con.
Chuỗi hình học tổng quát có dạng: S = a + ar + ar² + ar³ + …
trong đó r là công bội và a là số hạng đầu.
Nếu công bội r nằm giữa –1 và 1, tổng của chuỗi là: S = a/(1 – r)
Với bài toán nón: a = 24, r = –0.5 → S = 24/(1 + 0.5) = 16 đô
Với bài toán con ruồi: a = 12 dặm, r = 1/5 → S = 12/(1 – 1/5) = 12/(4/5) = 15 dặm!
Khi chuỗi vô hạn tiết lộ "họ hàng bí mật" ️
Bây giờ đến phần thần thánh! Thay vì nghĩ r là một con số cụ thể, hãy nghĩ nó như một biến. Khi đó công thức 1 + r + r² + r³ + … = 1/(1 – r) trở thành một loại "thuật giả kim toán học" - biến chì thành vàng vậy!
Điều tuyệt vời là: vô số hàm số khác trong khoa học và kỹ thuật cũng có thể chuyển đổi thành "chuỗi lũy thừa"! Các nhà toán học thời xưa phát hiện ra rằng tất cả các hàm quen thuộc - sine, cosine, logarit, hàm số mũ - đều có thể viết dưới dạng chuỗi lũy thừa.
Và khi họ làm việc này, họ nhận ra những trùng hợp đáng kinh ngạc!
Nhìn các công thức của exp(x), cos(x) và sin(x): Chuỗi tính exp(x) gần như là sự kết hợp của hai công thức kia! Giá như dấu cộng trừ xen kẽ trong cos(x) và sin(x) có thể hòa hợp với toàn dấu cộng của exp(x) thì sao?
Leonhard Euler đã tìm ra công thức thần thánh: e^(ix) = cos(x) + i·sin(x)
Công thức này khẳng định: sine và cosine (hiện thân của chu kỳ và sóng) là họ hàng bí mật của hàm số mũ (hiện thân của tăng trưởng và suy giảm) - nhưng chỉ khi nâng số e lên lũy thừa ảo!
Công thức Euler, sinh ra trực tiếp từ chuỗi vô hạn, giờ không thể thiếu trong kỹ thuật điện tử, cơ học lượng tử và mọi ngành liên quan đến sóng.
Đặc biệt, khi x = π, ta có phương trình được mệnh danh là đẹp nhất trong toán học: e^(iπ) + 1 = 0
Phương trình này chứa tất cả các số quan trọng nhất: e, i, π, 1, và 0 trong một công thức siêu gọn! Mind = blown
Nguồn: tinhte.vn